複素数 つづき 2

z=a+bi, w=c+di, 共軛をそれぞれZ,Wとする.

****************

|z||w|=|zw|. [(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.]

とくに, |1/z||w|=|w/z|(=|1/z×w|). [(c^2+d^2)/(a^2+b^2)={(ac+bd)^2+(ad-bc)^2}/(a^2+b^2)^2,

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2.]

Conjugate(z+w)=Conjugate(z)+Conjugate(w),

Conjugate(z×w)=Conjugate(z)×Conjugate(w).

*************

Conjugate(z+w)

=(a+c)-(b+d)i

=(a-bi)+(c-di)

=Conjugate(z)+Conjugate(w),

Conjugate(z×w)

=(ac-bd)-(ad+bc)i

=a(c-di)-b(d+ci)

=a(c-di)-bi(c-di)

=(a-bi)×(c-di)

=Conjugate(z)×Conjugate(w).

*************************

z=a+bi,

z/i=b-ai,

iz=-b+ai:

Re(z)=-Im(z/i)=Im(iz),

Im(z)=Re(z/i)=-Re(iz).

******************************

|Π[j=1,n]zj|=Π[j=1,n]|zj|,

zj=aj+bji (aj,bj∈R, j=1.2,...,n).

n=1のときなりたつ.

あるnのときなり立てば

|z(j+1)||Π[j=1,n]zj|=|z(j+1)Π[j=1,n]zj|

=|Π[j=1,n+1]zj|,

|z(j+1)|Π[j=1,n]|zj|=Π[j=1,n+1]|zj|, これもなりたつ. つまり任意のnでなりたつ.

*********************

zZ=a^2+b^2, wW=c^2+d^2.

ξ≡w/z[z≠0]=(c+di)/(a+bi)

=(c+di)(a-bi)/(a^2+b^2)

={(ac+bd)+(ad-bc)i}/(a^2+b^2).

共軛をΞとすれば

ξΞ[=wW/(zZ)]={(ac+bd)^2+(ad-bc)^2)}/(a^2+b^2)^2

=(c^2+d^2)/(a^2+b^2).

zW=(a+bi)(c-di)=(ac+bd)-(ad-bc)i,

Zw=(a-bi)(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i:

zW+Zw=2(ac+bd)=2Re(zW)=2Re(Zw).

オマケ: θ≡z/Z=(a+bi)/(a-bi)

=(a+bi)^2/(a^2+b^2)

=(a^2-b^2+2abi)/(a^2+b^2).

共軛をΘとすれば

θΘ=(a^4+2a^2b^2+b^4)/(a^4+2a^2b^2+b^4)=1.

***********

|z|≧Re(z), |z|≧Im(z)の等号が成立するときはz=|z|, z=|z|i.

√(a^2+b^2)=aならb=0,a≧0が必要: zは0以上の実数.[この場合ではa.]当然|z|=a: z=a=|z|.

√(a^2+b^2)=b.ならa=0,b≧0が必要: zは虚部(係数)が0以上の実数であるような純虚数.[この場合ではb] |z|=b: z=bi=|z|i.

+++++++

z=|z|: zは実軸上にある.[zをベクトルとみたときの実軸方向への射影.]

z=|z|i: zは虚軸上にある.[zをベクトルとみたときの虚軸方向への射影.]

*****

3角不等式: |z|~|w|≦|z+w|≦|z|+|w|.

等号はzとwが同じ向きか反対向きのとき.

つまり

右側の等号: w=hzなる非負実数hが存在する時.

左側の等号(|z|>|w|の場合; |z|≦|w|も同じ. あたり前だが|z|=|w|ならむろん等号成立.)

|z|-|w|≦|z+w|

|z+w|^2-(|z|-|w|)^2

=zZ+zW+Zw+wW-zZ+2|zw|-wW

=zW+Zw+2|zw|

=2(|zW|+Re(zW))≧0. [|zw|のままでもいいが一応.]

等号は|zW|=-Re(zW): zWが0以下の実数.

両方非零として

z=r(cosθ+isinθ),

w=s(cosφ+isinφ) (r,s>0, θ,φ∈R)

とおけば

Z=r(cos(-θ)+isin(-θ)),

W=s(cos(-φ)+isin(-φ)),

zw=rs(cosθcosφ-sinθsinφ+(cosθsinφ+sinθcosφ)i)

=rs(cos(θ+φ)+isin(θ+φ)),

zW=rs(cosθcos(-φ)-sinθsin(-φ)+(cosθsin(-φ)+sinθcos(-φ))i)

=rs(cos(θ-φ)+isin(θ-φ)),

Zw=rs(cos(-θ)+isin(-θ))(cosφ+isinφ)

=rs(cos(-θ)cosφ-sin(-θ)sinφ+(cos(-θ)sinφ+sin(-θ)cosφ)i)

=rs(cos(φ-θ)+isin(φ-θ))

=rs(cos(θ-φ)-isin(θ-φ)). [普通はConjugate(zW)をやるだけ.]

|zW|=-Re(zW): rs=-rscos(θ-φ),

|zw|=Re(zW): rs=rscos(θ-φ).

cos(θ-φ)=-1,

cos(θ-φ)=1:

θ=φ+2nπ,

θ=φ+(2n+1)π (n∈Z).

[arg(z)≡arg(w) (mod. 2nπ),

arg(z)≡arg(w) (mod. (2n+1)π).

偏角を0≦θ,φ<2πとすれば[主値を取れば]θ=φ, θ=φ+π.]

つまりarg(z)=arg(w) (共に偏角0(かその2nπ倍))なら右側の等号が成立し,

arg(z)=arg(w)+πなら左側の等号が成立する.

結局

w=hz (h≧0)なる実数hが存在する時, 右側の等号が成立し,

w=kz (k≦-1)なる実数kが存在する時, 左側の等号が成立する.

****************+

|Σ[j=1,n]zj|≦Σ[j=1,n]|zj|.
n=1: なりたつ.
nのときなりたつとすれば, 両辺に|z(j+1)|を加える
RHS: Σ[j=1,n]|zj|+|z(j+1)|=Σ[j=1,n+1]|zj|,
LHS: |Σ[j=1,n]zj|+|z(j+1)|≦|Σ[j=1,n+1]zj|.
よって任意のnでなりたつ.

*****************