複素数 ど基礎 1
実数の世界では
x^2+1=0 (1)
の根はない.
普遍的に解きたい人のために
i^2=1を教えれば x=iは(1)の根だとわかる.
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complex number: a+bi, where a and b are arbitrary real numbers, and i is imaginary unit.
imaginary number: a+bi (a,b∈R, b≠0),
purely imaginary number: bi (a,b∈R (a=0), b≠0),
real number: a (a,b∈R (b=0)).
Gaussian integer, Gaussian rational numberとかは そのうち.
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x^2-1=0の根1が実数の単位; 任意の実数a=a×1.
x^2+1=0の根iが虚数の単位[虚軸の目盛り]; 任意の純虚数bi=b×i.
例えば
{1,2,3,...}→{1i,2i,3i,...}.
結局任意の実数bをbiと対応させられるということ.
さっきのふたつを加法的に(線型)結合して
複素数a×1+b×iを得る.
これは順序を考えて作った実数の対(a,b)と対応させられる2元数. その意味でa+bi中の加法記号'+'は準形式的なもの.
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xy-直角座標のベクトルP(p,q)=pi+qjの関係とおなじ.
Pの始点が原点なら(どこでもいいが)成分(p,q)はxy-直角座標における点(p,q)と一致する. これと同じことを考えれば複素数はベクトルと同じ. x軸方向の単位ベクトルexが実軸方向の単位1と対応する. y軸方向の単位ベクトルeyと虚軸方向の単位iについても同じ.
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a+biを1文字で書きたければ
z=a+bi:
a: real part of z; Re(z),
b: imaginary part of z; Im(z).
[zが与えられる→Re(z), Im(z)が定まる. 逆も真.]
b=Im(z)=0ならz=a,
a=Re(z)=0ならz=b,
a=b=Im(z)=Re(z)=0のときに限ってz=0.
z=a+biの共軛: Z=a-bi.
かけてa^2+b^2=0.
a=b=0↔︎a^2+b^2=0↔︎z=0.
おまけ: zの反数: -z=-a-bi.
当然|z|=|-z|.
z=a+bi, Z=a-bi.
z+Z=2a[=2Re(z)], z-Z=2bi[=2iIm(z)].
z=Zならzは実数,
z=-Zならzは純虚数.
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zZ=a^2+b^2は基本的.[z,Zを根に持つ2次方程式:
λ^2-(z+Z)λ+zZ=λ^2-2aλ+a^2+b^2=0.]
α=a+bi, β=c+di (a,b,c,d∈R); 共軛をΑ,Β.
γ≡αβ=(ac-bd)+(ad+bc)i,共軛をΓとすれば
γΓ=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(αΑ)(βΒ)[=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2].
ζj=aj+bji (aj,bj∈R, j=1,2,...,n); それぞれの共軛をΖj=aj-bji,
ηn≡Π[j=1,n]ζj, 共軛をΗnとすれば
ηnΗn=Π[j=1,n]ζjΖj.[積のnormはnormの積に等しい.]
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n=1: あきらか.
n=2: (ζ1Ζ1)(ζ2Ζ2)=(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2).
η2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i,
Η2=(a1a2-b1b2)-(a1b2+b1a2)i,
η2Η2=(a1a2-b1b2)^2+(a1b2+b1a2)^2
=(a1a2)^2+(b1b2)^2+(a1b2)^2+(b1a2)^2
=(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2):
η2Η2=(ζ1Ζ1)(ζ2Ζ2).
nの時なりたてば
ζ(n+1)Ζ(n+1)Π[j=1,n]ζjΖj=Π[j=1,n+1]ζjΖj.
ηn=Π[j=1,n]ζj, Ηn=Π[j=1,n]Ζj;
ζ(n+1)ηn=ζ(n+1)Π[j=1,n]ζj,
Ζ(n+1)Ηn=Ζ(n+1)Π[j=1,n]Ζj:
η(n+1)Η(n+1)=Π[j=1,n+1]ζjΖj.
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